Números Irracionales
TRABAJO PRÁCTICO DE MATEMÁTICA:
Números Irracionales:
*Encuentren e investiguen el origen, significado de cinco números irracionales.
------------------------------------------0------------------------------------------
*Número π:
Cualquier esfuerzo práctico por dividir el diámetro de un círculo en su propia circunferencia solo puede resultar en fracaso. Tal procedimiento sólo puede ser teórico en su naturaleza, e intentar obtener su valor "racional" solo conllevará a frustración. La frustración que se retrata a lo largo de la historia en el esfuerzo de la humanidad por medir lo inconmensurable. Intentar inscribir una línea recta (el diámetro de un círculo) en otra línea curva (el perímetro del mismo) es intentar una alteración a la naturaleza, una alteración imposible que siquiera los ordenadores modernos están en condiciones de realizar.Ya en la antigüedad, los calculistas advirtieron que todos los círculos conservaban una estrecha relación entre su perímetro y su radio pero... ¿Puede este vínculo ser considerado como un número "racional"? Es decir: ¿Puede conocerse con exactitud esta relación, o debemos limitarnos a dar aproximaciones? Sólo desde el siglo XVII la relación se convirtió en un número y fue identificado con el nombre "Pi" (de periphereia, nombre que los griegos daban al perímetro de un círculo), pero largo fue el camino hasta aceptar que Pi era un irracional, como infinita es la posibilidad de encontrarle un nuevo decimal.
A lo largo de la historia, la expresión de Pi ha asumido muchas variaciones. Uno de los más antiguos textos matemáticos, el papiro de Rhind, (1700 años antes de nuestra era) nos muestra al escriba Ahmés cotejando la evaluación del área de un círculo inscrito en un cuadrado.La Biblia le asigna el valor 3, en Babilonia 3 1/8; los egipcios 4(8/9)²; Siddhantas 3,1416; Brahmagupta 3,162277; y en China 3,1724. Sin embargo, como era de esperarse, fue en Grecia donde la exacta relación entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los más llamativos enigmas a resolver. Un contemporáneo de Sócrates, Antiphon, inscribe en el círculo un cuadrado, luego un octógono e imagina doblar el número de lados hasta el momento en que el polígono obtenido coincida prácticamente con el círculo. Brisón, por la misma época, hizo intervenir los polígonos circunscriptos.Después de los trabajaos de Hipócrates y de Euxodo, Euclides precisa, en sus Elementos los pasos al límite necesarios y desarrolla el método de exacción, consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares inscritos y circunscritos y en mostrar la convergencia del procedimiento.Arquímedes reúne y desarrolla estos resultados. Muestra que el área de un círculo es el semiproducto de su radio por su circunferencia y que la relación de la circunferencia al diámetro está comprendida entre
223/71 = 3,14084 y 22/7 = 3,14285.Obtiene luego para las áreas y los perímetros de los polígonos regulares, inscritos y circunscritos, de n y 2n lados, relaciones de recurrencia de forma notable, que permiten calcular pi con una aproximación dada; este método de cálculo recibió el nombre de "algoritmo de Arquímedes".
Con el renacimiento, los trabajos de ciclometría se multiplican. Purbach construye una tabla de senos de 10' en 10' y adopta para Pi el valor
377/120 = 3,14666... Los siglos XV y XVI se destacan por el desarrollo de la trigonometría, bajo el impulso de Copérnico y Kepler. Rhaeticus construye una tabla de senos en la que se incluye a Pi con 8 decimales exactos. Adrien Romain (1561-1615) obtiene 15 decimales y Ludolph de Colonia (1539-1610) llega hasta 32. Según su deseo, estos 32 decimales fueron grabados en su tumba, pero en su país la posteridad lo recompensó mucho mejor pues se dio a pi el nombre de "número de Ludolph".Pronto la proeza de Ludolph se vio opacada por lo perfeccionamientos logrados por Snell (1580-1626) y Huyghens (1629-1655). El primero halla que el arco x está comprendido entre: 3 sen x /( 2 + cos x) y 1/3.(2 sen x + tg x) mientras que el segundo, cuya obra ha sido calificada como modelo de razonamiento geométrico, da la expresión (sen² x tg x)1/3 Con su método, Snell obtuvo 34 decimales exactos, partiendo del cuadrado y doblando 28 veces el número de los lados. Huyghens, en cambio, calcula Pi con 9 decimales exactos utilizando simplemente el polígono de seis lados.
El cálculo infinitesimal dio fórmulas notables que, al aportar métodos de cálculo nuevos y mucho más potentes, separó en cierto modo a Pi de sus orígenes geométricos y aclaró el papel fundamental que juega en todo el análisis matemático. El matemático francés Viete obtuvo, a fines del siglo XVI, la primera fórmula de Pi por medio de un producto infinito convergente que no hace figurar más que a los número 1 y 2.
Gregory en 1670 desarrolla la fórmula del Arco tangente que, para x = 1 da la fórmula de Leibniz: PI/4 = 1 - (1/3) + (1/5) -...
Como caso particular, cabe mencionar a Euler, a quien le debemos la costumbre de designar por Pi a la relación circunferencia: diámetro y quien en 1775 calculó su valor, con 20 decimales, en una hora por medio de la fórmula:Pi/4 = 5 arc tg 1/7 + 8 arc tg 3/79. Sin embargo, su mayor descubrimiento es el de un cierto parentesco entre Pi y otros números no menos importantes en la matemática, como lo son el número e, i, como así los lazos que existen entre las funciones circulares seno y coseno, y la función exponencial ex: ésta es periódica y su período imaginario es 2 i Pi.Estas verdades son el resultado común de varias corrientes de ideas. Los logaritmos inventados por el escocés Neper (1550-1617), no solamente tuvieron gran importancia para los cálculos numéricos; la función, nula para x = 1, que admite como derivada a 1/x ofrece un sistema de logaritmos particularmente interesantes desde el punto de vista teórico: los conocidos logaritmos neperianos.
El mas constante entre todos aquellos que se abocaron al cómputo de Pi fue el matemático inglés William Shanks, quien luego de un arduo trabajo que le demandó nada menos que veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desafortunadamente, Shanks cometió un error en el 528º decimal, y a partir de ése todos los restantes están mal. En 1949 John Von Neumann utilizó la computadora electrónica ENIAC, y luego de setenta horas de trabajo obtuvo 2037 cifras decimales. Tiempo después, otra computadora consiguió 3.000 decimales en sólo 13 minutos. Hacia 1959, una computadora británica y otra gala lograron las primeras 10.000 cifras. En 1986 David H. Bailey extrajo 29.360.000 cifras en un Cray-2 de la Nasa utilizando el algoritmo de Ramanujan de convergencia cuártica. Finalmente, en 1987, Kanada consiguió mas de 100 millones de cifras se podrían conseguir fácilmente 2.000 millones de cifras usando en exclusiva un superordenador durante una semana. En resumen, ya es prácticamente posible tantas cifras como se requiera, y el único impedimento aparente es debido al tiempo que un ordenador pueda tardar en conseguirlos.
Lo cierto es que sólo cuatro decimales de Pi con suficiente precisión bastan para las necesidades prácticas. Con 16 decimales se obtiene, con el espesor aproximado de un cabello, la longitud de una circunferencia que tenga por radio la distancia media de la tierra al sol. Si reemplazamos el sol por la nebulosa más lejana y el cabello por el corpúsculo más pequeño conocido por los físicos, no harían falta más que 40 decimales. Entonces ¿Que necesidad existe para buscar tantas cifras? Quizá ninguna necesidad práctica, pero el hombre no se resigna aún a aceptar cosas que no pueda llegar a comprender, como por ejemplo el infinito.
Evolución de Pi a través del tiempo.
*Número de Oro: Φ
¿Qué es?
Es uno de los conceptos matemáticos que aparecen una y otra vez ligados a la naturaleza y el arte, compitiendo con PI en popularidad y aplicaciones. ΦEsta ligado al denominado rectángulo de oro y a la sucesión de Fibonacci. Aparece repetidamente en el estudio del crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, la formación de caracolas... y por supuesto en cualquier estudio armónico del arte.
Historia
Aunque no fue hasta el siglo XX cuando el número de oro (conocido también como sección áurea, proporción áurea o razón áurea) recibió su símbolo, Φ(FI) (la sexta letra del abecedario griego, nuestra efe), su descubrimiento data de la época de la Grecia clásica (s. V a.C.), donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos (por ejemplo el Partenón), y escultóricos. Fue seguramente el estudio de las proporciones y de la medida geométrica de un segmento lo que llevó a los griegos a su descubrimiento.
Su valor
El valor numérico de es Φ de 1,618... .Φ es un número irracional como PI, es decir, un número decimal con infinitas cifras decimales sin que exista una secuencia de repetición que lo convierta en un número periodico. Es imposible conocer todas las cifras de dicho número (al igual que PI) y nos contentamos con conocer unos cuantos dígitos suyos suficientes para la mayoría de sus aplicaciones.
¿Qué mide?
Suponiendo que tienes un segmento y lo quieres dividir en dos trozos de tamaño distintos. Se puede hacer de muchas formas, por ejemplo dividiéndolo de modo que la parte mayor sea el doble que la menor, o cuatro veces la menor, etc. Sólo existe una forma de dividir tal segmento de modo que la relación (razón o ratio) que guarden el segmento completo y la mayor de las partes sea igual. Es decir, son iguales el segmento y el trozo mayor que las dos partes entre sí. Para ello basta con que dividas la longitud del segmento inicial
entre Φ =1,618 y el resultado es la longitud del trozo mayor.
Rectángulo áureo
Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus proporciones.
Se dibuja un cuadrado y se marca el punto medio de uno de sus lados. Se une con uno de los vértices del lado opuesto y se lleva esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera se obtiene el lado mayor del rectángulo.
Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale 1 más la raíz de 5, por lo que la proporción entre los lados es 1 más la raiz de 5 todo ello dividido entre 2.
Se obtiene así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo se puede construir otros semejantes que, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco, etc...).
La Estrella Pentagonal
Según la tradición, la estrella pentagonal era el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde solo tenía cabida los números fraccionarios. La casualidad (o quizás no) hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro.
La Sucesión de Fibonacci
Consideremos la siguiente sucesión de números:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...Cada número a partir del tercero se obtiene sumando los dos que le preceden (por ejemplo, 21=13+8; el siguiente a 34 será 34+21=55). Esta sucesión es la llamada "Sucesión de Fibonacci" (Leonardo de Pisa 1170-1240). Los cocientes (razones) entre dos números de la sucesión, se aproximan más y más al número de oro (1,61803...).
FI en la Naturaleza
Se puede encontrar el número áureo en distintos seres que pueblan la naturaleza, entre ellos el hombre. Por ejemplo, las caracolas crecen en función de relaciones áureas lo mismo que las piñas o las hojas que se distribuyen en el tallo de una planta. Las falanges de nuestra mano guardan esta relación, lo mismo que la longitud de la cabeza y su anchura.
La Espiral Logarítmica
Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.
Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiángular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba. La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales, aquellas en las que la forma se mantiene invariante.
FI en el Arte y las Construcciones
El número áureo ha sido utilizado desde la época de los egipcios para la construcción de edificios, si bien, son los griegos los que lo explotaron al máximo usando en todas las facetas del arte. A continuación se detallan algunos ejemplos de este uso.
El primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la pirámide de Keops, que data del 2600 a.C...
Esta pirámide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triángulos áureos: la más aparente, aunque no la única, relación armónica identificable en el análisis de las proporciones de este monumento funerario en apariencia simple.
Propiedades:
Φ es irracional, y el único número real positivo con
y que posee además las siguientes propiedades:
De dos números se dice que están en razón áurea, si el total es al mayor como el mayor es al menor.
Es decir si:
De forma equivalente, están en razón áurea si la razón del mayor al menor es igual a la razón del menor a la diferencia entre ambos.
Expresión matemáticamente equivalente a la anterior.
Representación mediante fracciones continuas
(φ)(φ − 1) = 1
(φ)2 − φ − 1 = 0
Representación mediante raíces anidadas
etc.
*Número e:
El número e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el número más importante del campo del análisis.
Su valor aproximado es
A pesar de lo que parecen indicar los primeros decimales de e, se trata de un número irracional.
Definición
La definición más natural es la siguiente: e es el único número real cuyo logaritmo natural es 1.
Propiedades
Las propiedades siguientes también pueden ser tomadas como definición de e.
1) e es la suma de los inversos de las factoriales:
2) e es el límite de la sucesión de término general
Esta propiedad aparece tan a menudo en los cálculos, y es tan frecuente pedir su demostración que se propone a continuación una prueba.
Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:
Como el término de derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico es tomar su logaritmo:
Porque ln(1 + h) equivale a h cuando h se aproxima a 0. Esta equivalencia se puede obtener al considerar la tangente en x = 1 a la curva del logaritmo (su ecuación es y = x - 1 y aproxima la curva y = ln x, por consiguiente ln x ~ x - 1 (en x = 1) o sea ln (1 + h) ~ h con h = x - 1 que tiende hacia 0).
Como el logaritmo se aproxima a 1, la expresión tiende hacia e.
Es fácil ver que son dos veces la misma fórmula porque cuando h tiende hacia cero (por el lado positivo), su inverso x tiende hacia el infinito (positivo).
3) el desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:
lo que se escribe e = [2, 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 ... 1,2n,1, ... ], propiedad descubierta por Euler, y en fracción continua no normalizada:
En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.
4) e es irracional y trascendental.
Función exponencial
Se llama exponencial la función definida sobre los reales por
La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, verificando la relación:
ei.t = cos t + i sin t. Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler.
En 1975, el suizo Felix A. Keller descubrió la siguiente fórmula que se aproxima a "e" ("expresión de Keller" Steven Finch, mathsoft):
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*Raíz Cuadrada de dos:
Unos dicen que Hipaso murió al ser arrojado al mar por divulgar la esfera de doce pentágonos (el dodecaedro). Sin embargo, otros aseguran que el que fue castigado fue el que divulgó la doctrina de los números irracionales y los inconmensurables.
Lo que realmente demostraron los pitagóricos fue que la diagonal de un cuadrado y su lado no son conmensurables, lo cual quiere decir que no tienen una medida común o, dicho en términos modernos, que su cociente no es igual a ningún cociente de números enteros. La sencillez de la demostración la ha convertido en paradigma del método de reducción al absurdo. Aunque la prueba pitagórica original no se ha conservado, una cita de Aristóteles acerca de una demostración en la que se utilizan los números pares e impares .
Teorema: la diagonal de un cuadrado y su lado son inconmensurables.
Sea h la diagonal de un cuadrado y c su lado.
Por el teorema de Pitágoras: h2 = c2 + c2 = 2c2
Supongamos que h y c son conmensurables. Entonces existen dos números naturales a y b, primos entre sí, tales que .
De la última igualdad se deduce que a2 es par, por lo que a debe ser par (y por tanto b impar, al ser primos entre sí).
Sea r natural tal que a = 2r.
Se tiene entonces: a2 = (2r)2 = 4r2 = 2b2
Simplificando: 2r2 = b2
De la última igualdad se deduce que b2 es par, por lo que b debe ser par, pero esto es una contradicción, pues se ha dicho previamente que b es impar.
Por tanto, h y c son inconmensurables.
Raíz de dos, irracionalidad
La irracionalidad de se deduce como aplicación directa del teorema anterior al cuadrado unidad. Sin embargo, lo habitual es encontrar la siguiente demostración, adaptación de la anterior:
Supongamos que es racional. Entonces existen dos números naturales a y b, primos entre sí, tales que .
De la última igualdad se deduce que a2 es par, por lo que a debe ser par (y por tanto b impar, al ser primos entre sí).
Sea r natural tal que a = 2r.
Se tiene entonces: a2 = (2r)2 = 4r2 = 2b2
Simplificando: 2r2 = b2
De la última igualdad se deduce que b2 es par, por lo que b debe ser par, pero esto es una contradicción, pues se ha dicho previamente que b es impar.
Por tanto, es irracional.
Otra demostración aún mejor...
Otra demostración clásica es la de Euclides, quien en la proposición 9 del libro X de sus Elementos demostró que si dos magnitudes son conmensurables entonces también lo deben de ser sus cuadrados.
Sin embargo, mi preferida es la siguiente:
Empezamos como antes, suponiendo que es racional y que por tanto existen dos números naturales a y b tales que a2 = 2b2.
Si descomponemos a2 en factores primos es obvio que aparecerán los factores de a pero duplicados. Y lo mismo ocurrirá con b2. Sin embargo, en la expresión 2b2 hay un 2 desparejado. Contradicción.
*Raíz Cuadrada de cinco: √5
√5= 2.2360679774997896964091736687313…
Si √5 fuera igual a un número racional, p/q por ejemplo, ya reducido a su más simple expresión, tendría que ser
(p/q) ²= 5 o sea p²/q²= 5
p²= 5q²
y por p² sería un múltiplo de 5 y por consiguiente p también sería múltiplo de 5, es decir un número impar. Luego resultaría que p=5n donde n es un número natural.
Reemplazando p por su igual 5n en (1) se tendría:
(5n)²= 5q²
O sea:
25n²= 5q²
Y simplificando por 5:
5n²=q²
Relación que expresa que q² es múltiplo de 5 y por consiguiente q sería múltiplo de 5 y en consecuencia q, número impar.
La √5 no es un número racional, o lo que es lo mismo no tiene solución racional la ecuación x²=5.
Bibliografías:
* Matemática Moderna “Álgebra”, editorial Kapelusz;
* www.argenmaticas.com.ar;
* www.es.wikipedia.org;
* www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso02/alumnado/index.html;
* www.wmatem.eis.uva.es;
* Documento pdf, “Los números Reales”, extraído de internet;
* www.100cia.com.
Números Irracionales:
*Encuentren e investiguen el origen, significado de cinco números irracionales.
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*Número π:
Cualquier esfuerzo práctico por dividir el diámetro de un círculo en su propia circunferencia solo puede resultar en fracaso. Tal procedimiento sólo puede ser teórico en su naturaleza, e intentar obtener su valor "racional" solo conllevará a frustración. La frustración que se retrata a lo largo de la historia en el esfuerzo de la humanidad por medir lo inconmensurable. Intentar inscribir una línea recta (el diámetro de un círculo) en otra línea curva (el perímetro del mismo) es intentar una alteración a la naturaleza, una alteración imposible que siquiera los ordenadores modernos están en condiciones de realizar.Ya en la antigüedad, los calculistas advirtieron que todos los círculos conservaban una estrecha relación entre su perímetro y su radio pero... ¿Puede este vínculo ser considerado como un número "racional"? Es decir: ¿Puede conocerse con exactitud esta relación, o debemos limitarnos a dar aproximaciones? Sólo desde el siglo XVII la relación se convirtió en un número y fue identificado con el nombre "Pi" (de periphereia, nombre que los griegos daban al perímetro de un círculo), pero largo fue el camino hasta aceptar que Pi era un irracional, como infinita es la posibilidad de encontrarle un nuevo decimal.
A lo largo de la historia, la expresión de Pi ha asumido muchas variaciones. Uno de los más antiguos textos matemáticos, el papiro de Rhind, (1700 años antes de nuestra era) nos muestra al escriba Ahmés cotejando la evaluación del área de un círculo inscrito en un cuadrado.La Biblia le asigna el valor 3, en Babilonia 3 1/8; los egipcios 4(8/9)²; Siddhantas 3,1416; Brahmagupta 3,162277; y en China 3,1724. Sin embargo, como era de esperarse, fue en Grecia donde la exacta relación entre el diámetro y el perímetro de una circunferencia comenzó a consolidarse como uno de los más llamativos enigmas a resolver. Un contemporáneo de Sócrates, Antiphon, inscribe en el círculo un cuadrado, luego un octógono e imagina doblar el número de lados hasta el momento en que el polígono obtenido coincida prácticamente con el círculo. Brisón, por la misma época, hizo intervenir los polígonos circunscriptos.Después de los trabajaos de Hipócrates y de Euxodo, Euclides precisa, en sus Elementos los pasos al límite necesarios y desarrolla el método de exacción, consistente en doblar, al igual que Antiphon, el número de lados de los polígonos regulares inscritos y circunscritos y en mostrar la convergencia del procedimiento.Arquímedes reúne y desarrolla estos resultados. Muestra que el área de un círculo es el semiproducto de su radio por su circunferencia y que la relación de la circunferencia al diámetro está comprendida entre
223/71 = 3,14084 y 22/7 = 3,14285.Obtiene luego para las áreas y los perímetros de los polígonos regulares, inscritos y circunscritos, de n y 2n lados, relaciones de recurrencia de forma notable, que permiten calcular pi con una aproximación dada; este método de cálculo recibió el nombre de "algoritmo de Arquímedes".
Con el renacimiento, los trabajos de ciclometría se multiplican. Purbach construye una tabla de senos de 10' en 10' y adopta para Pi el valor
377/120 = 3,14666... Los siglos XV y XVI se destacan por el desarrollo de la trigonometría, bajo el impulso de Copérnico y Kepler. Rhaeticus construye una tabla de senos en la que se incluye a Pi con 8 decimales exactos. Adrien Romain (1561-1615) obtiene 15 decimales y Ludolph de Colonia (1539-1610) llega hasta 32. Según su deseo, estos 32 decimales fueron grabados en su tumba, pero en su país la posteridad lo recompensó mucho mejor pues se dio a pi el nombre de "número de Ludolph".Pronto la proeza de Ludolph se vio opacada por lo perfeccionamientos logrados por Snell (1580-1626) y Huyghens (1629-1655). El primero halla que el arco x está comprendido entre: 3 sen x /( 2 + cos x) y 1/3.(2 sen x + tg x) mientras que el segundo, cuya obra ha sido calificada como modelo de razonamiento geométrico, da la expresión (sen² x tg x)1/3 Con su método, Snell obtuvo 34 decimales exactos, partiendo del cuadrado y doblando 28 veces el número de los lados. Huyghens, en cambio, calcula Pi con 9 decimales exactos utilizando simplemente el polígono de seis lados.
El cálculo infinitesimal dio fórmulas notables que, al aportar métodos de cálculo nuevos y mucho más potentes, separó en cierto modo a Pi de sus orígenes geométricos y aclaró el papel fundamental que juega en todo el análisis matemático. El matemático francés Viete obtuvo, a fines del siglo XVI, la primera fórmula de Pi por medio de un producto infinito convergente que no hace figurar más que a los número 1 y 2.
Gregory en 1670 desarrolla la fórmula del Arco tangente que, para x = 1 da la fórmula de Leibniz: PI/4 = 1 - (1/3) + (1/5) -...
Como caso particular, cabe mencionar a Euler, a quien le debemos la costumbre de designar por Pi a la relación circunferencia: diámetro y quien en 1775 calculó su valor, con 20 decimales, en una hora por medio de la fórmula:Pi/4 = 5 arc tg 1/7 + 8 arc tg 3/79. Sin embargo, su mayor descubrimiento es el de un cierto parentesco entre Pi y otros números no menos importantes en la matemática, como lo son el número e, i, como así los lazos que existen entre las funciones circulares seno y coseno, y la función exponencial ex: ésta es periódica y su período imaginario es 2 i Pi.Estas verdades son el resultado común de varias corrientes de ideas. Los logaritmos inventados por el escocés Neper (1550-1617), no solamente tuvieron gran importancia para los cálculos numéricos; la función, nula para x = 1, que admite como derivada a 1/x ofrece un sistema de logaritmos particularmente interesantes desde el punto de vista teórico: los conocidos logaritmos neperianos.
El mas constante entre todos aquellos que se abocaron al cómputo de Pi fue el matemático inglés William Shanks, quien luego de un arduo trabajo que le demandó nada menos que veinte años, obtuvo 707 decimales en 1853. Desafortunadamente, Shanks cometió un error en el 528º decimal, y a partir de ése todos los restantes están mal. En 1949 John Von Neumann utilizó la computadora electrónica ENIAC, y luego de setenta horas de trabajo obtuvo 2037 cifras decimales. Tiempo después, otra computadora consiguió 3.000 decimales en sólo 13 minutos. Hacia 1959, una computadora británica y otra gala lograron las primeras 10.000 cifras. En 1986 David H. Bailey extrajo 29.360.000 cifras en un Cray-2 de la Nasa utilizando el algoritmo de Ramanujan de convergencia cuártica. Finalmente, en 1987, Kanada consiguió mas de 100 millones de cifras se podrían conseguir fácilmente 2.000 millones de cifras usando en exclusiva un superordenador durante una semana. En resumen, ya es prácticamente posible tantas cifras como se requiera, y el único impedimento aparente es debido al tiempo que un ordenador pueda tardar en conseguirlos.
Lo cierto es que sólo cuatro decimales de Pi con suficiente precisión bastan para las necesidades prácticas. Con 16 decimales se obtiene, con el espesor aproximado de un cabello, la longitud de una circunferencia que tenga por radio la distancia media de la tierra al sol. Si reemplazamos el sol por la nebulosa más lejana y el cabello por el corpúsculo más pequeño conocido por los físicos, no harían falta más que 40 decimales. Entonces ¿Que necesidad existe para buscar tantas cifras? Quizá ninguna necesidad práctica, pero el hombre no se resigna aún a aceptar cosas que no pueda llegar a comprender, como por ejemplo el infinito.
Evolución de Pi a través del tiempo.
*Número de Oro: Φ
¿Qué es?
Es uno de los conceptos matemáticos que aparecen una y otra vez ligados a la naturaleza y el arte, compitiendo con PI en popularidad y aplicaciones. ΦEsta ligado al denominado rectángulo de oro y a la sucesión de Fibonacci. Aparece repetidamente en el estudio del crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, la formación de caracolas... y por supuesto en cualquier estudio armónico del arte.
Historia
Aunque no fue hasta el siglo XX cuando el número de oro (conocido también como sección áurea, proporción áurea o razón áurea) recibió su símbolo, Φ(FI) (la sexta letra del abecedario griego, nuestra efe), su descubrimiento data de la época de la Grecia clásica (s. V a.C.), donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos (por ejemplo el Partenón), y escultóricos. Fue seguramente el estudio de las proporciones y de la medida geométrica de un segmento lo que llevó a los griegos a su descubrimiento.
Su valor
El valor numérico de es Φ de 1,618... .Φ es un número irracional como PI, es decir, un número decimal con infinitas cifras decimales sin que exista una secuencia de repetición que lo convierta en un número periodico. Es imposible conocer todas las cifras de dicho número (al igual que PI) y nos contentamos con conocer unos cuantos dígitos suyos suficientes para la mayoría de sus aplicaciones.
¿Qué mide?
Suponiendo que tienes un segmento y lo quieres dividir en dos trozos de tamaño distintos. Se puede hacer de muchas formas, por ejemplo dividiéndolo de modo que la parte mayor sea el doble que la menor, o cuatro veces la menor, etc. Sólo existe una forma de dividir tal segmento de modo que la relación (razón o ratio) que guarden el segmento completo y la mayor de las partes sea igual. Es decir, son iguales el segmento y el trozo mayor que las dos partes entre sí. Para ello basta con que dividas la longitud del segmento inicial
entre Φ =1,618 y el resultado es la longitud del trozo mayor.
Rectángulo áureo
Un rectángulo especial es el llamado rectángulo áureo. Se trata de un rectángulo armonioso en sus proporciones.
Se dibuja un cuadrado y se marca el punto medio de uno de sus lados. Se une con uno de los vértices del lado opuesto y se lleva esa distancia sobre el lado inicial, de esta manera se obtiene el lado mayor del rectángulo.
Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, es claro que el lado mayor del rectángulo vale 1 más la raíz de 5, por lo que la proporción entre los lados es 1 más la raiz de 5 todo ello dividido entre 2.
Se obtiene así un rectángulo cuyos lados están en proporción áurea. A partir de este rectángulo se puede construir otros semejantes que, se han utilizando en arquitectura (Partenón, pirámides egipcias) y diseño (tarjetas de crédito, carnets, cajetillas de tabaco, etc...).
La Estrella Pentagonal
Según la tradición, la estrella pentagonal era el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde solo tenía cabida los números fraccionarios. La casualidad (o quizás no) hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro.
La Sucesión de Fibonacci
Consideremos la siguiente sucesión de números:1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34,...Cada número a partir del tercero se obtiene sumando los dos que le preceden (por ejemplo, 21=13+8; el siguiente a 34 será 34+21=55). Esta sucesión es la llamada "Sucesión de Fibonacci" (Leonardo de Pisa 1170-1240). Los cocientes (razones) entre dos números de la sucesión, se aproximan más y más al número de oro (1,61803...).
FI en la Naturaleza
Se puede encontrar el número áureo en distintos seres que pueblan la naturaleza, entre ellos el hombre. Por ejemplo, las caracolas crecen en función de relaciones áureas lo mismo que las piñas o las hojas que se distribuyen en el tallo de una planta. Las falanges de nuestra mano guardan esta relación, lo mismo que la longitud de la cabeza y su anchura.
La Espiral Logarítmica
Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFD cuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF es áureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultante HGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente, obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen hacia el vértice O de una espiral logarítmica.
Esta curva ha cautivado, por su belleza y propiedades, la atención de matemáticos, artistas y naturalistas. Se le llama también espiral equiángular (el ángulo de corte del radio vector con la curva es constante) o espiral geométrica (el radio vector crece en progresión geométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética). J. Bernoulli, fascinado por sus encantos, la llamó spira mirabilis, rogando que fuera grabada en su tumba. La espiral logarítmica vinculada a los rectángulos áureos gobierna el crecimiento armónico de muchas formas vegetales (flores y frutos) y animales, aquellas en las que la forma se mantiene invariante.
FI en el Arte y las Construcciones
El número áureo ha sido utilizado desde la época de los egipcios para la construcción de edificios, si bien, son los griegos los que lo explotaron al máximo usando en todas las facetas del arte. A continuación se detallan algunos ejemplos de este uso.
El primer uso conocido del número áureo en la construcción aparece en la pirámide de Keops, que data del 2600 a.C...
Esta pirámide tiene cada una de sus caras formadas por dos medios triángulos áureos: la más aparente, aunque no la única, relación armónica identificable en el análisis de las proporciones de este monumento funerario en apariencia simple.
Propiedades:
Φ es irracional, y el único número real positivo con
y que posee además las siguientes propiedades:
De dos números se dice que están en razón áurea, si el total es al mayor como el mayor es al menor.
Es decir si:
De forma equivalente, están en razón áurea si la razón del mayor al menor es igual a la razón del menor a la diferencia entre ambos.
Expresión matemáticamente equivalente a la anterior.
Representación mediante fracciones continuas
(φ)(φ − 1) = 1
(φ)2 − φ − 1 = 0
Representación mediante raíces anidadas
etc.
*Número e:
El número e, base de los logaritmos naturales o neperianos, es sin duda el número más importante del campo del análisis.
Su valor aproximado es
A pesar de lo que parecen indicar los primeros decimales de e, se trata de un número irracional.
Definición
La definición más natural es la siguiente: e es el único número real cuyo logaritmo natural es 1.
Propiedades
Las propiedades siguientes también pueden ser tomadas como definición de e.
1) e es la suma de los inversos de las factoriales:
2) e es el límite de la sucesión de término general
Esta propiedad aparece tan a menudo en los cálculos, y es tan frecuente pedir su demostración que se propone a continuación una prueba.
Primero, la propiedad se puede generalizar a una variable real, pasando del límite de una sucesión al de una función:
Como el término de derecha tiene un exponente que varía, lo más práctico es tomar su logaritmo:
Porque ln(1 + h) equivale a h cuando h se aproxima a 0. Esta equivalencia se puede obtener al considerar la tangente en x = 1 a la curva del logaritmo (su ecuación es y = x - 1 y aproxima la curva y = ln x, por consiguiente ln x ~ x - 1 (en x = 1) o sea ln (1 + h) ~ h con h = x - 1 que tiende hacia 0).
Como el logaritmo se aproxima a 1, la expresión tiende hacia e.
Es fácil ver que son dos veces la misma fórmula porque cuando h tiende hacia cero (por el lado positivo), su inverso x tiende hacia el infinito (positivo).
3) el desarrollo decimal de e no muestra regularidad alguna. Sin embargo, con las fracciones continuas, que pueden ser normalizadas (con los numeradores todos iguales a 1) o no, obtenemos, en fracción continua normalizada:
lo que se escribe e = [2, 1,2,1, 1,4,1, 1,6,1 ... 1,2n,1, ... ], propiedad descubierta por Euler, y en fracción continua no normalizada:
En ambos casos, e presenta regularidades no fortuitas.
4) e es irracional y trascendental.
Función exponencial
Se llama exponencial la función definida sobre los reales por
La exponencial es la única función que es siempre igual a su derivada (de ahí su especial interés en el análisis, más precisamente para las ecuaciones diferenciales), y que toma el valor 1 cuando la variable vale 0.
La exponencial se extiende al cuerpo de los complejos, verificando la relación:
ei.t = cos t + i sin t. Un caso particular de esta relación es la identidad de Euler.
En 1975, el suizo Felix A. Keller descubrió la siguiente fórmula que se aproxima a "e" ("expresión de Keller" Steven Finch, mathsoft):
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*Raíz Cuadrada de dos:
Unos dicen que Hipaso murió al ser arrojado al mar por divulgar la esfera de doce pentágonos (el dodecaedro). Sin embargo, otros aseguran que el que fue castigado fue el que divulgó la doctrina de los números irracionales y los inconmensurables.
Lo que realmente demostraron los pitagóricos fue que la diagonal de un cuadrado y su lado no son conmensurables, lo cual quiere decir que no tienen una medida común o, dicho en términos modernos, que su cociente no es igual a ningún cociente de números enteros. La sencillez de la demostración la ha convertido en paradigma del método de reducción al absurdo. Aunque la prueba pitagórica original no se ha conservado, una cita de Aristóteles acerca de una demostración en la que se utilizan los números pares e impares .
Teorema: la diagonal de un cuadrado y su lado son inconmensurables.
Sea h la diagonal de un cuadrado y c su lado.
Por el teorema de Pitágoras: h2 = c2 + c2 = 2c2
Supongamos que h y c son conmensurables. Entonces existen dos números naturales a y b, primos entre sí, tales que .
De la última igualdad se deduce que a2 es par, por lo que a debe ser par (y por tanto b impar, al ser primos entre sí).
Sea r natural tal que a = 2r.
Se tiene entonces: a2 = (2r)2 = 4r2 = 2b2
Simplificando: 2r2 = b2
De la última igualdad se deduce que b2 es par, por lo que b debe ser par, pero esto es una contradicción, pues se ha dicho previamente que b es impar.
Por tanto, h y c son inconmensurables.
Raíz de dos, irracionalidad
La irracionalidad de se deduce como aplicación directa del teorema anterior al cuadrado unidad. Sin embargo, lo habitual es encontrar la siguiente demostración, adaptación de la anterior:
Supongamos que es racional. Entonces existen dos números naturales a y b, primos entre sí, tales que .
De la última igualdad se deduce que a2 es par, por lo que a debe ser par (y por tanto b impar, al ser primos entre sí).
Sea r natural tal que a = 2r.
Se tiene entonces: a2 = (2r)2 = 4r2 = 2b2
Simplificando: 2r2 = b2
De la última igualdad se deduce que b2 es par, por lo que b debe ser par, pero esto es una contradicción, pues se ha dicho previamente que b es impar.
Por tanto, es irracional.
Otra demostración aún mejor...
Otra demostración clásica es la de Euclides, quien en la proposición 9 del libro X de sus Elementos demostró que si dos magnitudes son conmensurables entonces también lo deben de ser sus cuadrados.
Sin embargo, mi preferida es la siguiente:
Empezamos como antes, suponiendo que es racional y que por tanto existen dos números naturales a y b tales que a2 = 2b2.
Si descomponemos a2 en factores primos es obvio que aparecerán los factores de a pero duplicados. Y lo mismo ocurrirá con b2. Sin embargo, en la expresión 2b2 hay un 2 desparejado. Contradicción.
*Raíz Cuadrada de cinco: √5
√5= 2.2360679774997896964091736687313…
Si √5 fuera igual a un número racional, p/q por ejemplo, ya reducido a su más simple expresión, tendría que ser
(p/q) ²= 5 o sea p²/q²= 5
p²= 5q²
y por p² sería un múltiplo de 5 y por consiguiente p también sería múltiplo de 5, es decir un número impar. Luego resultaría que p=5n donde n es un número natural.
Reemplazando p por su igual 5n en (1) se tendría:
(5n)²= 5q²
O sea:
25n²= 5q²
Y simplificando por 5:
5n²=q²
Relación que expresa que q² es múltiplo de 5 y por consiguiente q sería múltiplo de 5 y en consecuencia q, número impar.
La √5 no es un número racional, o lo que es lo mismo no tiene solución racional la ecuación x²=5.
Bibliografías:
* Matemática Moderna “Álgebra”, editorial Kapelusz;
* www.argenmaticas.com.ar;
* www.es.wikipedia.org;
* www.juntadeandalucia.es/averroes/recursos_informaticos/concurso02/alumnado/index.html;
* www.wmatem.eis.uva.es;
* Documento pdf, “Los números Reales”, extraído de internet;
* www.100cia.com.
posted by Juan Carlos | 8:20 p. m.
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